Kloakviden.dk
Trekantens sider og vinkler kaldes trekantens stykker.
Vinkelsummen i en trekant er altid 180° og nabovinklerne til vinklerne i en trekant er tilsammen 360°.
Forskellige typer trekanter
Spidsvinklet trekant er en trekant, hvor alle vinkler er spidse (under 90°).
Stumpvinklet trekant er en trekant, hvor en af vinklerne er stump (over 90°). Der kan ikke være to stumpe vinkler i en trekant.
Ligebenet trekant
En trekant, hvor to af siderne er lige lange, kaldes en ligebenet trekant. I en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinien AC lige store, altså A = C. Vinkel B kaldes topvinklen.
I en ligebenet, retvinklet trekant, hvor de to øvrige vinkler (grundvinklerne) er 45º, vil hypotenusen være gange større end kateterne ( = 1,414).
Ligesidet trekant
En trekant, hvor alle siderne er lige lange, kaldes en ligesidet trekant. I en ligesidet trekant er vinklerne lige store, dvs. A = B = C = 60°.
Højden i en ligesidet trekant er lig den halve side ganget med kvadratroden af 3. En ligesidet trekants areal er a2/4 x kvadratroden af 3, når siden er a.
Ensvinklede trekanter
For ensvinklede trekanter gælder, at forholdene mellem ensliggende sider er lige store. Det kan udtrykkes således: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
I en retvinklet trekant, hvor de spidse vinkler er 30° henholdsvis 60°, er hypotenusen dobbelt så stor som den mindste katete b og den største katete a er gange større end den mindste katete b ( = 1,732).
●
1.9. Regneregler for parenteser
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
2.0. Kloak
2.1. Promillefald
En ret linie der ikke er vandret, har en hældning i forhold til vandret.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
1. Højdeforskel (H) = Længde x hældning / 1000 = L x ‰ / 1000
2. Hældning (‰). = Højdeforskel x 1000 / længde = H x 1000 / L
3. Længde (L) = Højdeforskel x 1000 / Hældning = H x 1000 / ‰
På ældre afløbstegninger kan hældningen være angivet som en brøk, f.eks. 1/40 eller 1 : 40, hvilket betyder, at ledningen falder 1 m på længden 40 m. Udtrykket kan omregnes til promille ved at dividere 1000 med forholdstallet, altså 1000 / 40 = 25 ‰.
Se evt. også omsætningstabellen mellem promillefald og grader eller promillefald og forholdstal.
●
2.2. Regler for koteberegning
Hvis der kun er angivet 1 kote ud for brønden regnes den for at være midte brønd.
Bundkoter angives normalt med 2 decimaler (centimeters nøjagtighed), men med 3 decimaler hvis ledningen ligger med svag hældning (under 10 ‰).
Promiller angives normalt med hele tal, men hvis ledningen ligger med svag hældning (under 10 ‰) kan den angives med 1 decimal.
Bundløb i brønde har mindst samme fald som hovedløbet, hvis ikke andet er nævnt.
Afstande måles som regel fra midte brønd til midte brønd hvis der kun er angivet én bundkote. Er der angivet to bundkoter måles afstanden fra indløbet henholdsvis udløbet.
●
2.3. Forhold til fundamenter
Reglerne fra DS 415, ”norm for fundering” siger:
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Ved fundamenter, hvor bredden overstiger 1 m (f.eks. søjlefundamenter eller lign.), regnes a = 3 i en afstand indtil 2 x b fra fundamentet.
Givet er to tangentpunkter og to retninger.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Kantstensflugterne forlænges til de skærer hinanden i O. Korden mellem tangentpunkterne TP trækkes og midten m findes.
Fra O til m trækkes en linie.
Den halve korde afsættes fra TP i flugt med tangenten (kantstenen). I dette punkt oprejses en vinkelret, og hvor denne linie skærer tangenternes (kantstensflugternes) halveringslinie Om, ligger cirkelbuens toppunkt og cirkelbuens pilhøjde er fundet.
Man kan trække en ny korde. Finde midten af denne og oprejse en vinkelret i dette punkt. Derefter sættes den halve kordelængde ud ad tangentflugten fra TP, og i det fundne punkt oprejses en vinkelret. Hvor disse to vinkelrette skærer hinanden er fundet et nyt punkt på cirklen.
Metoden er fuldstændig nøjagtig. Man kan, hvis fuld nøjagtighed ikke er krævet, nøjes med den første del af afsætningen (finde pilhøjden), og til den øvrige del af afsætningen anvendes f.eks. fjerdedelsmetoden.
Brolæggermetoden eller fjerdedelsmetoden.
Givet er 3 punkter A, B og C på en cirkelbue.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Korden AC trækkes og midtpunktet M af korden findes, således at AM = MC og cirkelbuens pilhøjde bliver = BM.
Korden AB trækkes og på midten af denne oprejses en vinkelret linie, hvorpå afsættes P1 = ¼ BM.
Fra dette punkt trækkes nye korder til A og B. På midten af disse oprejses vinkelrette linier, hvorpå afsættes pilhøjder P2 = ¼ P1.
Der kan nu trækkes eventuelle nye korder, hvorpå der på midten afsættes pilhøjder = ¼ af den sidst afsatte pilhøjde.
Metoden er kun tilnærmelsesvis rigtig og bør kun anvendes til lidt flade cirkelbuer (hvor centervinklen er lille).
Afsætning med kurvespejl.
Kurvespejlet er et særligt vinkelspejl, der består af to spejle anbragt på samme akse.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Afsætning af kurver og indstilling af vinkelspejl:
Tre punkter A, B, C er givet:
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Vinkel B er nu fundet og der kan nu afsættes vilkårlige punkter på cirkelbuen.
To punkter samt tangentretningen er givet:
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Med kurvespejlet indstillet på vinkel C kan alle ønskede punkter på kurven findes som de punkter, hvorfra stokkene i A og C viser sig i hinandens forlængelse i kurvespejlet.
Afsætning af kurver eller cirkelbuer med kurvespejl er en præcis metode, men er dog meget afhængig af den omhyggelighed og nøjagtighed afsætteren er i stand til at yde.
Indrykningsmetoden.
Givet er tangentpunkterne og cirklens radius.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Kurven udstikkes fra begge tangentpunkter og bør som kontrol fra begge sider gå et stykke over midten.
Hvis tangentens retning og cirkelbuens radius er nøjagtig opgivet, er metoden også rigtig. Kun afsætningen af h1 har en lille unøjagtighed, der ikke har nogen praktisk betydning. Metoden bør dog ikke anvendes ved cirkelbuer under 200 m.
Afsætning af kantstensrundinger og tangentpunkter.
Ved enhver hjørneafsætning, hvor der bruges buede kantsten i cirkulær form skal overgangen mellem den lige flugt og den buede flugt være jævn, dvs. at man skal finde tangentpunkterne.
Afsætning med kurvetabel
Nøjagtig afsætning af en kurve kan opnås, hvor henholdsvis korde, pilhøjde og evt. buelængde kan beregnes ud fra radius og centervinklens størrelse.
Ligeledes her er tangentpunkterne kendte.
Se evt. tabellen for bue- og kordelængder osv.
●
5.0. Tegnforklaring
5.1. Matematiske tegn
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
5.2. Det græske alfabet
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
5.3. Romertal.
Romertal, der blev anvendt i Midteuropa indtil det 12. århundrede, anvendes i dag kun som ordenstal og til f.eks. angivelse af årstal. Grundtallene består af bogstaverne:
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Der er intet tegn for nul.
Taltegn, der gentages umiddelbart efter hinanden (dog max. 3 gange og undtaget tegnene V, L og D) lægges sammen, og står et mindre taltegn foran et større, skal det trækkes fra, men står det efter et større, skal det lægges til .
Eksempel: MCMLXXIV = 1000 + (1000 -100) + (50+10+10) + (5 -1) = 1974
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Tegnet M kan dog godt gentages mere end 3 gange, f.eks. MMMMM = 5.000.
●
6.0. Diverse
6.1. Potenstabel
6.2. Rodtabel
6.4. Pythagoras trekanter
6.5. Tal
De taltegn, vi bruger, stammer fra Indien og bragtes til Europa med arabiske købmænd. Med disse 10 taltegn (cifre) er vi i stand til at skrive et hvilket som helst antal, idet værdien af det enkelte tal, ikke blot bestemmes af cifret selv; men også af den plads (position), det indtager. Tomme pladser i en talrække udfyldes med nuller. Værdien af et taltegn stiger 10 gange for hver plads, det flyttes til venstre.
Vort talsystem er foruden at være et positionssystem også et titalssystem (der benyttes 10 cifre), formodentlig fordi vi har 10 fingre (at tælle med!). Der er intet til hinder for at lave andre talsystemer, og undertiden kan man blive nødsaget til at lave et nyt talsystem. "Huskerørene" i elektronregnemaskiner kan f. eks. kun udføre to funktioner (en i ladet og en i ikke ladet tilstand), og de tal, som en elektronregnemaskine skal behandle, må derfor kun indeholde 2 taltegn. Tallene opbygges efter et totalssystem (dualsystem).
Decimalsystemet. De ti cifre i titalssystemet er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Skal man med tal angive et antal på ti, er vi altså i knibe, for ovennævnte cifre går ikke længere end til et antal på ni. Man vedtager derfor at skrive antallet ti således: 10, idet 1-tallet fortæller, at der er 1 tier, og nullet fortæller, at der er 0 enere.
På denne måde kan man skrive tal op til 99, men så er vi i knibe igen. Derfor vedtager man, at hundrede skrives således: 100, og her betyder 1-tallet, at der er 1 hundreder, og de to nuller fortæller, at der et henholdsvis 0 tiere og 0 enere. Således kan man fortsætte, så længe man vil, og man får decimalsystemet, som der gives en oversigt over nedenfor.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
NB.: i USA er billion lig med milliard og trillion lig med billion. I Frankrig bruges milliard og billion i flæng om milliard.
Primtal
Et primtal er de hele positive tal, der kun er deleligt med 1 og sig selv.
Som eksempler kan nævnes (alle primtal under 1000):
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
6.6. Gamle danske mål.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
6.8. Fibonaccisske talrække
I den Fibonaccisske talrække (Fibonacci-tal) vokser det efterfølgende tal hver gang med det forrige tal. Sættes to tal, der står ved siden af hinanden i talrækken, i forhold til hinanden, opnås med stigende nøjagtighed det gyldne snit.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Eksempler på talpar: 5:8, 8:13, 13:21, 21:34, 55:89, osv.
Lidt taleksempler
Tager man et vilkårligt talpar, f.eks. 55:89 og foretager en udregning fås 55:89 = 0,618. Vender man rækkefølgen på tallene bliver resultatet 89:55 = 1,618. Dette kan gøres med ethvert talpar og resultaterne vil stadig være de samme. Prøv selv!
Jo højere tallene er jo større nøjagtig (1,6180339887 og 0,6180339887).
Udtrykket 1,618034 er i flere kredse benævnt som det græske bogstav φ (phi) eller som "Det gyldne Snit".
Ligeledes er udtrykket: (1 + )/2 = 1,618034 = φ.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
1,6182 = 2,618 (eller 1,618 + 1)
Hvis menneskets højde deles med 1,618034 fås en afstand der svarer til afstanden mellem fødderne og navlen.
●
6.9. Det Gyldne Snit
Det gyldne snit har altid været genstand for stor interesse. Ikke kun inden for matematikken, men også inden for arkitektur, kunst., botanik, biologi og fysik.
Enkelt udtrykt er det gyldne snit en deling af en linie i et indbyrdes bestemt forhold. Liniestykket AC deles ved B i 2 stykker, således at det mindste AB forholder sig til BC, som BC til hele liniestykket AC.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Udtrykt matematisk er forholdet 1:1,618 (den reciprokke værdi er 0,618).
Med voksende nøjagtighed kan følgende forhold benyttes (fra den fibonaccisske talrække):
5:8, 8:13, 13:21, 21:34, 34:55 osv.
Konstruktionen udføres således:
I liniestykkets ene endepunkt A oprejses den vinkelrette. Ud ad denne afsættes M = AC/2. En cirkel med centrum i M og radius AC/2 tegnes. CM trækkes; linien skærer cirklen i B1, der nedfældes på AC i B.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Liniestykket AC er derved delt, således at det mindste AB forholder sig til BC, som BC til hele liniestykket AC.
●
6.10. Finhed
Sølv og guld anvendes sjældent rent. En blanding af det rene, ædle metal og et eller flere andre metaller kaldes en legering. Legeringens indhold af det rene metal (sølv) angives i promille (tusindedele), f.eks. 700 ‰ - ofte siger man dog bare, at finheden er 700.
Finheden af guld angives i karat. Af en 14 karats guldring er de 14/24 rent guld.
Eks. Der ønskes fremstillet en legering af 25 g 18 karats guld, 15 g 14 karats guld, 7,5 g rent guld og 12,5 g kobber. Hvad er legeringens finhed?
Først bestemmes indholdet af rent guld i hele legeringen:
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
Legeringens 60 g (25 + 15 + 7,5 +12,5) indeholder da (450 + 210 + 180) / 24 = 35 g rent guld. 1/24 af legeringen er 60/24 = 2,5 g. Finheden er 35/2,5 = 14. Legeringen har finheden 14 karat.
Finsølv er "rent" sølv. Da finholdigheden angives i tusindedele (promille), betegnes finsølv med tallet 1000. Sterlingsølv har finheden 925, og "3-tårnet" sølv har finheden 830.
●
6.11. Beauforts vindstyrke-skala
Beauforts skala er en inddeling af en vindstyrke udviklet i 1805 af den britiske admiral Francis Beaufort (1774-1856).
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
6.12. Chill-faktoren
Chill-faktoren beregnes ved at finde gradtallet på den vandrette akse og vindstyrken på den lodrette. Det tal man finder, er udtryk for, hvor kold temperaturen føles på kroppen, når man er ude i vejret.
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
●
6.13. Richter-skalaen
Et jordskælv måles på en såkaldt Richter-skala. Den beskriver, hvor kraftigt et jordskælv er 100 kilometer fra udgangspunktet.
Styrken på et jordskælv bliver målt som et tal på Richter-skalaen, der er opkaldt efter den amerikanske seismolog Charles Francis Richter (1900-1985). Han klassificerede i 1935 jordskælv efter deres styrke på en logaritmeskala, hvor jordskælvet er 10 gange så kraftigt, hver gang man stiger et trin (helt tal) op ad skalaen. Det vil sige, at et jordskælv, der måler styrke 7 på skalaen, er 10 gange så kraftigt som et styrke 6-jordskælv.
Richter-skalaen er inddelt på følgende måde:
Styrke 1-3: Svage, ofte umærkelige, skælv uden materielle skader.
Styrke 4: Mærkes af næsten alle og f.eks. løst puds falder ned.
Styrke 5: Vibrationerne mærkes - skorstene og svage bygninger tager skade.
Styrke 6: Almindelige bygninger tager betydelig skade.
Styrke 7: Solide konstruktioner tager betydelig skade.
Styrke 8: Jordskælvssikrede konstruktioner tager betydelig skade.
Styrke 9: Voldsomme, omfattende og altødelæggende rystelser.
Richter-tallet bliver bestemt af udsvingene på en seismograf og omregnet til, hvor kraftigt skælvet ville være ved jordoverfladen 100 kilometer fra epicentret. En seismograf er blot en ophængt pen, der uafbrudt aftegner en linie på en solidt forankret, roterende papirrulle. Når Jorden ryster under rullen, vil pennen danse henover papiret og så at sige "beskrive jordskælvet".
I Danmark er der opstillet fem seismografer:
1. Mønsted Kalkmine: Danmarks bedste og vigtigste
2. Gilleleje Museum: Bruges primært til formidlingsformål
3. Vestvolden i København: Har fungeret siden 1926
4. Bornholm: Nedgravet i en privat have
5. Lille Linde på Stevns: Seismometer nedgravet på en mark
Kilde: bl.a. www.dmi.dk
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]
[[PASTING TABLES IS NOT SUPPORTED]]